気になったので解いてみた

http://d.hatena.ne.jp/ykurihara/20080307#1204897806

から

1）　ｆ（n^7）=f（ｎ）　の証明

　　f(n)はｎを7で割った余りだから
　　f(n)=n (mod=7) である

　　　　n=7a+b とおくと　(a,b=0,1,2,3,・・・),(0≦b≦6)

　　　　　f(n)=n=7a+b
　　　　　　　=b (mod=7)　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・Ａ

　　　　f(n^7)=(7a+b)^7 ここで二項定理より
　　　　　　　=(7a)^7+nC1(7a)^6*b+・・・・・b^7
　　　　　　　=b^7　　　　　　　(mod=7)　　　　　　　　　　　　　　 ・・・Ｂ

数学的帰納法を使ってb^7=b (mod=7)を証明する
　　　　　　1^7=1

　　ここで
　　　　　　k^7=k　　(mod=7)　・・・　　が成り立つとすると

　　　　　　　(k+1)^7=k^7 +7C1*K^6 +7C2*k^5　+・・・・・+7C1*k +1
　　　　　　　　　　=k^7 +1 (mod=7)
　　　　　　　　　　=k +1 (mod=7)

　よって数学的帰納法より
　　　　　　　b^7=b (mod=7)　　　　　　　　　　　　　　・・・Ｃ
　　　　　

　Ａ,Ｂ,Ｃより
　　　　　　　f(n^7)=f(ｎ)　　　　　　証明終わり

あってますけどもっと簡単な方法があることに気づいてしまった
　　　n^7=n (mod=7)　を証明する

n=k　のとき
　　f(k^7)=f(k) つまり　k^7=k (mod=7)　とする

n=1のとき　　　　1^7=1

n=k+1　の時　　　
　　　(k+1)^7=k^7 +7C1 k^6 +7C2 k^5.........................+kC6 k +1
　　　　　　=k^7+1 (mod=7)
=k+1

よってn=1,k.k+1　で　n^7=n (mod=7)が正しいので
　　　数学的帰納法より　n^7 =n (mod=7)
よってf(n^7)=f(n)

2)　　　g(n)=3*f(1^n +2^n +3^n +4^n +5^n +6^n +7^n)　でg(n)=18 となる任意のnを見つける問題

　　　　　　　　　　　1/3g(n)=1^n +2^n + ・・・・・+7^n
　n=0でないとき　　　　　　=1 +2^n +3^n +・・・・・6^n 　(mod=7)
　　　　　　　　　　　　　　=1 +2^n +3^n +(7-3)^n +(7-2)^n +(7-1)^n
　　　　　　　　　　　　　　=1 +2^n +3^n +(-3)^n +(-2)^n +(-1)^n (mod=7)
　又　g(0)＝0

　　　　　　　nが奇数の時は答えが０になって意味がないので

　　　　　　　　　　1/3*g(2n)=2*(1 +2^2n +3^2n)
　　　　　　　　　　　　　　=2*{1 +4^n +(7+2)^n}
　　　　　　　　　　　　　　=2*{1 +2^n +4^n} (mod=7)

　　　　　　　　　これでｎに代入していけば結構早く見つかるはず(n=3で)

　　　　ちなみにここでn=3a +b ≧1　とおくと

　　　　　　　　1/3*g{2(3a+b)}=2*{1+(7+1)^a *2^b +(7*9 +1)^a *4^b}
　　　　　　　　　　　　　　　=2*(1 +2^b +4^b) (mod=7)

　　　　b=0 のとき　g(2n)=18
　　　　b=1 のとき　 =0
　　　　b=2 のとき　 =0

　　　　　　g(n)でｎが奇数の時も0になるので
　　　　　　g(n)はｎが六の倍数以外の時には 0　になるんですよね　結局

というかこのためだけに日記を作ってしまった・・・・　　　匿名のやつどこにあるのか分からん
半角スペースが消えてしまうとか・・・きびしいｗ